Lecture 7

Topic 1 环和域的引入

环和域的两个典型例子是 和 。之所以要有环，是因为我们觉得只有一种运算太单调了，而有两种运算的整数就已经有大量的结论了。

于是，我们对我们理性中的环引入两种计算

特别的，我们还需要这两种计算被耦合在一起，于是要求有分配律

环的定义

非空集合 ，连同两个二元运算

被称为环，如果

1. 是阿贝尔群
2. 乘法 具有结合律，即

3. 加法与乘法有分配律

• 如果

则 称为 1， 是含幺环

• 如果乘法满足交换律，则 称为交换环

显然， 是一个含幺交换环，但 就只是一个交换环。 也是含幺交换环

环的性质与一些概念

4. （实际上是 3 的推论）

零因子（定义）：给定 与 ， 的情况称为左 / 右零因子，如果既是又是，则是零因子。

逆与单位（定义）： 含 1，给定 ，若

则称 是右 / 左可逆的（即在右 / 左乘可逆的）。若 同时左右可逆，则称为单位（Unit）

特别的， 的左逆，右逆（如果存在）相同，这是因为

另外，对于交换环问题就简单了

整环（定义）：一个含 1 交换且无零因子的环，称为整环（Domain）

零环（定义）：一个只有 的环

一些例子：

• 是一个整环，他的 unit 是
• ，由于 范数是积性的，故容易讨论出只有 四个单位

对于环的分析，我们几乎总应该先研究单位，特别的，一个环中单位的集合 ，关于 是一个群

域的概念

定义：对 ，， 是一个阿贝尔群，则 是一个域，称为

是阿贝尔群事实上定义了除法

最经典的，最重要的域有两个，一个是

这时

我们已经知道他是一个阿贝尔群

另一个最重要的域是

另外，

也是一个域

Topic 2 环的同态基础

环同态（定义）：对 ， 称为环同态，如果

1. 显然有
2. 同样可以建立单 / 满 / 一一同态
3. 对于都含幺的情况，且在 是满同态的情况下：

4. 是 的子环
5. 如果 是一个单射，称 是嵌入，且

子环 / 域：子环和子域本身的定义可以直接由子群扩展而来，故略。特别的，若 ，则称 是 的扩域

域的嵌入和扩张是域论最重要的内容

Topic 3 环的特征

定义：对 ，若

则称这样最小的 为环的特征，如果不存在这样的 ，则特征为 0

这里的 就是一个正整数，就是相当于

特别的，对于单位环，只需要对于 的情况成立即可，事实上此时特征即 在加法群中的阶

若 是整环，记特征为 ，若 不素，即 这时如果

这与整环的性质矛盾，故 或 ，这与 的最小性矛盾。因此，整环的特征要么是 0，要么是素数

由于域是整环，故有：

域的特征要么是 0，要么是

• 0 的例子为有理数域
• 的例子为

对于存在非零特征的域，他的计算就变的非常简单：所有系数为 的倍数的项都会变成零！因此，比方说在 上