Problem 1 Q: 设 是有限群 的 子群，证明： 是 的唯一 子群的充分必要条件是 是 的正规子群 ""： 的任何共轭群都是 的 子群，由唯一性知都是它本身，即 是 的正规子群 ""：若 是 的正规子群，根据第二 定理，所有的 子群相互共轭，因此若存在别的 子群 ，则 与 共轭和 是正规子群不符，所以 是唯一的 子群 Problem 2 Q: 设 是不同素数，证明：任意 群都不是单群 由 定理， 群 存在大小为 的子群，且子群个数 满足 不失一般性，不妨设 ，则 ，因此 ，即这个子群为 的非平凡正规子群，故 不是单群 Problem 3 Q：已知结论： 给定有限阿贝尔群的直和 ，设 每个 在 中的阶为 ，则 在 中的阶等于所有 的最小公倍数 计算 中 ， 的阶 同理 故 Problem 4 Q: 同构意义下列出所有 阶阿贝尔群 故由有限阿贝尔群结构定理：