Problem 1 Q: 设 作用在集合 上，对任意的 ，设存在 使得 ，证明 一方面，考虑 ，则 这表明 另一方面，考虑 ，则 既得 综上 Problem 2 Q: 求 在 的循环子群 作用下的轨道数 一个大小为 的轮换，连续作用 次后，所有元素回到原位，故其阶不难判断即为 。故题中循环子群的大小为 ，且总只跟位置 的元素有关。 因此，这个置换群作用在原集合上，对 ，置换 的 次方会使其变换到 四个位置，因此得到一个轨道 另一方面， 总不会被循环群中的置换改变位置，因此他们分别独占一个轨道，即 故总轨道数为 5 Problem 3 Q: 利用群作用定理 证明：设 是群， 是 的子集，则 的共轭子集个数等于 考虑 的一个置换表示 这时有 且 故