Problem 1
Q：将下面置换写成不相交轮换的乘积，再表示为对换的乘积，给出该置换的奇偶性。
(1)
可表示为
表示为对换即
故为偶置换
(2)
可表示为
表示为对换即
故为奇置换
Problem 2
Q：对以下置换 ，计算 。
即把 的轮换中在 中出现的元素 进行转换，由于 把位置 改为 的元素，把位置 改为 的元素，故
Problem 3
Q：课堂上已证：对任意 ，对任意对换 ，当 分别处于 的两个不同轮换，且该两个轮换分别含有两个以上元素时， 的轮换数比 的轮换数少 个。本题考虑以下特殊情形：
(1) 分别处于 的两个不同轮换，且其中一个轮换只有一个元素（例如该轮换就是 ），另一轮换含有两个以上元素。
(2) 分别处于 的两个不同轮换，且该两轮换为 和 。
证明：在上述情形下， 的轮换数仍比 的轮换数少 。
对于 case 1，不失一般性，设两个轮换分别为 和 （由于不重合轮换可换，且轮换对其元素保持轮换对称性）
则关注局部的
则有
故可知轮换减少了一个
对于 case 2，易知 中含 的轮换就只剩一个 了，而对其他的轮换不影响，故轮换减少了一个
Problem 4
Q：设 是实数加群，定义映射 ：对任意
这里 。证明：该映射是 对 的作用。
首先，
故满足了单位元的性质
其次
而
故
故该映射是 对 的作用