Homework 2

Problem 1

Q: 对 ，求（加法）循环群 的所有生成元和所有子群

生成元：即

子群：即

Problem 2

Q: 对素数 ，找出 的一个生成元，并将所有元素表示为生成元的幂

题意即找 的原根（满足 的元素），我们只需要遍历 与 模 11 的值

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	4	9	5	3	3	5	9	4	1

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	10	1	1	1	10	10	10	1	10

得到 均为生成元，生成元的幂：

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	0
10	1	8	2	4	9	7	3	6	5	0

Problem 3

Q：写出商群

的所有元素与加法运算表

易知为

其中的加法与代表元（）在 上的加法结果相同

Problem 4

Q: 证明：群的两个正规子群的交是正规子群

考虑

则

故

即得

Problem 5

Q: 设 是群同态，

1. 证明： 是满的
2. 求
3. 列出 的所有陪集（及其中的元素）
4. 给出

的同构

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1. 注意到 ，故 每个元素都有原像
2. ，即得

3. 分别为

4. 由同态基本定理，即