Homework 1

Problem 1

Q: 证明：群 G 的任意多个子群的交仍是 G 的子群

Proof: 考虑子群集为

则 ，，由 的任意性知 ，证毕

Problem 2

Q: 证明：若 是 的子群，且 ，证明：

Proof: 关注到

而 的陪集中只有 一个群，即

Problem 3

Q：设 是群 到 的同构，证明： 也是群同构

Proof:

不妨记 ， 的运算分别为 和

首先，从映射的基本性质容易知道 是一个一一映射，故只需证其为群同态。考虑

则

这就证明了 是个群同态，证毕

Problem 4

Q: 对 ，求（加法）群 各个元素的阶

Ans: 直接列出

0	1	2	3	4	5	6	7
1	8	4	8	2	8	4	8

Problem 5

Q：写出 在（加法）群 中的所有陪集（由于 是 Abel 群，左陪集与右陪集相同），给出 在 中的 index

Ans: 在 中，

故

其陪集易知为