Lecture 5

Topic 1 群在集合上的作用 cont’d

先回顾一下前面的内容

左正则：

右正则：

由于二者都是忠实表示，这事实上给出了 和对称群子群（即置换群）的同构（根据同态基本定理，对于单同态 ，），因此有

任一群同构于一个置换群

但我们希望得到一个更简单的同构对象，换句话说，更小的 上的置换表示

诱导表示

我们考虑

与

容易验证其为良定义的群同态

接下来考察他的 kernel

总的来说，得到

总的来说，这里得到了 的一个置换表示，称其为左诱导表示。

类似的有右诱导表示

这里引进记号：，称 为一个共轭子集，以及对应得到了共轭子群

共轭表示

此处需要补充引入一个前置概念

定义：设 ，称群

为 的正规化子

接下来讨论共轭表示：令 ，考虑

则定义

我们需要验证什么？1. 良定义 2. 总是一个正经的置换 3. 是同态

是置换需要判断其为双射，不难证

然后验证一下他是不是同态

易证二者相等

然后考察其 kernel

注意这里的 任意，故

轨道-稳定子理论

首先定义相似，考虑 ，其中 作用在 上，则

这是一个等价关系，得到轨道的概念

一个简单的例子：考虑 在 上的作用

不难证明结合律和幺元两个性质

注： 验证群作用必须验证结合律与幺元作用两点

此时任何一个点 被 作用后的结果为 ，因此他的轨道为

一般的：任意的平面二次曲线，一定是某个群在 上作用的一个轨道，比如 就可以用 （ 定义在 的乘法群）得到

更一般的，其实 的任意子集 都是某个群在 上作用的一个轨道，构造考虑 代表所有在 上表现为恒等映射的置换，显然 是群而且 （因为 属于 ），另一方面

介绍完轨道之后，定义固定子群

于是有

这里的 是一个暂时未被确定的完全代表系索引集

我们的目标是证明：

只需要考虑 存在唯一的 ，s.t.

于是得到

一个应用：记 表示轨道长度为 的元素的集合，i.e.

则

得到

这个 lemma 的进一步推论为

考虑 ，则 中有 阶元

一个简单的情况是 时，这时我们用反证法，直接把所有 中 的组取出来，倘若不存在 阶元，则 为偶数，矛盾

下面考虑一般情况：定义

由于自由度为 ，有

那么有

接下来注意一个事实

这是因为

于是知道可以定义 在 上的作用

比较好证明他是一个作用

接下来应用上面的 lemma，称 为经过作用，轨道大小为 的 -元组集合，则

而又由于全 1 对显然是轮换下不变的，即

所以肯定还需要有别的满足循环不变的对，考虑

直接得到这些元素全等为

这立即得到

证毕。