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Lecture 4

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Topic 1 置换群

考虑

则 上的置换是 的一一映射，称为

组成的集合为 ，显然

则称

为 的对称群，而其中的任意子群称为置换群，其中的幺元为恒等变换

由于具体集合内部是什么不太重要，所以我们一般直接考虑一般的 元集合的对称群 ，并在研究时取

轮换与对换

轮换即字面意思，如

代表置换 满足对这些元素的依次映射：

且对于集合中其余的元素 ，均保持不变（即 ）

而任意 中的 元置换都可以被表示为若干无公共元素的轮换之积

Remark:

  1. 单个元素的轮换可以省略不写
  2. 轮换之积可以任意顺序

对换就是含两个元素的对换 ，轮换总可以表示为对换：

Proof：只需验证等式两边对任意元素的映射结果完全一致：

  1. 对于 ：从右往左复合，它只在遇到 时被映为 ，随后立刻被其左侧紧邻的 映为 ，且后续对换不再改变它；
  2. 对于 ：从右往左复合，它仅在最后一步被最左侧的 映为 。

以上结果与轮换 的作用定义完全相符，故等式成立。

进一步的，任意置换也就可以被表示为对换的积。由此推得：

是 的一个生成元系，这是因为

接下来讨论奇偶置换的概念：我们断言对同一个置换以不同对换表达式表达的时候，对换数量的奇偶性是不变的

对于这个断言的证明有许多方式，但先引出一个引理，假设有两种表达式

则

故只需证： 不可能被奇数个对换表示，下面用两种数学归纳法来证明

第一种证法对 的大小作归纳

首先，对于大小为 2 的情况，假设是显然成立的，因为 只有 一个置换，奇数次时为 ，偶数次时为

下面假设结论对 时成立，即对 ， 只可能被偶数个对换得到。

证明：对 时也成立，即我们证明对 ，不可能用奇数次对换将其变回原样，分类讨论：

  1. 若产生 的对换中没有含 的，则问题化归为 ，由归纳假设知对换数只能为偶数个
  2. 如若不然，设最右侧的含 的对换为 ，对其左侧相邻的对换分类讨论，其必然属于以下四种情况之一，并分别加以从 LHS 到 RHS 的恒等转变

其中

四个转变中，对换数的奇偶性都保持不变，而后三个都把对应的含 的对换向左挪动了，反复进行上面的操作，如果出现相同的对换就会相消，出现交换对象不同的对换会剩下一个，最后必然会出现下面两种情况

  • 只剩下一个 ，则原本在 位置的元素无法回到 ，不可能恒等！舍去

注：如果最靠右的含 的对换就是最左侧的对换，则直接进入这种情况并舍去

  • 通过情形一，所有含 的项都被消除，而操作后的对换数奇偶性不变，且由其恒等性结果仍为 ，这时由归纳假设，对换数为偶数

综上，证毕

第二种证法来自 Contemporary Abstract Algebra (Gallian)，是对生成的对换数作归纳

核心操作也是不断的向左回滚，回滚的过程中核心指标 的最右出现对换不断向左移动，而由于 的位置需要在对换前后保持不变，故不可能最后只出现一次，因而不可能一直回滚到第一个对换而不被相消，因此等到出现匹配相消后，使用第二数学归纳法即证得对换数为偶数。

Remark：这两种证法都不是老师上课讲的证法，但我觉得证明命题的选取更符合直觉

于是我们考虑两个集合 和 ，分别表示偶置换和奇置换，注意到

是一个双射，这得到

接下来考虑一个关键的映射

二元乘法群

奇置换映射到 ，偶置换映射到 ，则 ，因此

不过这其实可以用一个更重要的结论来证明

任何大小为原群一半的子群都是正规子群

Proof: 设 ，且其在 中的指数 。 这意味着 在 中只有两个左陪集： 和 ；同理也只有两个右陪集： 和 。 对于任意元素 进行分类讨论：

  1. 若 ，显然有 ；
  2. 若 ，则它的左陪集只能是 ，右陪集只能是 ，依然有 。 因此，对任意 均满足 ，由定义即知 。

单群

定义：只有平凡子群的群称为单群

两个证明不需要掌握的结论

时， 是单群 时， 是 的唯一非平凡正规子群

Remark: 第二个结论蕴含第一个结论

Topic 2 群在集合上的作用

考虑 ，如果 是一个群同态（注意这个同态没有说是单 / 满），则称 是 的一个置换表示。特别的，如果 是单同态，则称 是忠实表示

于是我们可以让群 借助置换表示来作用在 上，也就是说

定义 “作用”：称一个 在 上的作用是

基本的应当满足的性质如

所以首先证明了给定一个置换表示 ，它生成的 确实满足这两个性质

进一步的，我们希望证明：只要给出一个作用

他就可以诱导出一个 ，而且它确实是一个同态

证明方式

  1. 定义出
  2. 证明单射：用 证
  3. 证明满射：可以用有限集合的大小相等 + 单射得到
  4. 证明同态：从

证明

最后，我们考虑一个关系

有

所以他们是同一个表示，而类似的也有 得到的是两个一样的作用，所以置换表示和作用相当于是一个一体两面的关系

换句话说，可以建立 ，

好像说了好长，不过核心的 takeaway 就在一体两面这一点

考虑一个重要的例子：令 ，定义 ，满足

也就是说 对应的置换就是它乘在每个元素上的结果

  1. 检查 是不是置换（一一映射）：从消去律知道是单射，从 知道是满射
  2. 检查 是不是同态，从结合律显然

所以他确实是一个置换表示，他被称为群 的 左正则表示

由于

这得到 是一个忠实表示

相似的，定义

注意是乘 ，不然就不满足是同态了

它被称为右正则表示