Lecture 3

Topic 1 循环群

循环群的讨论从生成群开始

生成群

考虑 ，，定义 是 中包含 的最小子群，亦即 为所有包含 的子群的交

另一方面，定义

我们证明

左包右可以用任意包含 的群都满足的性质证明，右包左只需要证明右边是个群就可以了，都比较简单。

此时 成为 生成的群， 称为生成元系，并由此分出有限生成群和无限生成群

我们所关注的主要是有限生成群，更特别的是由单个 生成的群，即循环群

循环群的分类

循环群进一步又能分出两种

1. ，此时 无法进一步简化
2. ，则

而不难发现对于第一种，

是一个同构

虽然显然但复习一下证明细节：首先同构很显然，单射使用 来证明，满射看每个 都有原像即可

而对于第二种

是一个同构，所以循环群实际上只有两种！

循环群的一些性质

首先讨论生成元

对于第一种循环群，生成元就只能是

而对于第二种循环群，每个元素的阶为

从上面的式子容易 的数的阶是 ，但这个小结论的重要之处在于：这些数都可以作为这个群的生成元，一共有 个

下面研究子群问题

: 对于 ， 的全部子群是

其中

1. 对于这些群是他的子群，比较明显
2. 关于 ，进行一个陪集分解

即知

3. 第三个问题是 ，这从 2 就可以推出来（阶都不一样）
4. 最后一个问题是为什么 的全部子群都在里面： 对于 ，若 ，设 为满足 的最小正整数，又设

则显然 且 ，矛盾

: 对于 ， 的全部子群是

其中

上面的问题 123 都比较简单，我们证明问题4

等价于证明

依然考虑 为最小正整数

1. 若 ， 生成群的大小都 了，故不可能
2. 若 ，由 Lagrange 定理，元素的阶为群阶的因子，即

故

从类似前面 4 的证明可知， 不可能存在不在 中的元素（否则与 的最小性矛盾），从而

矛盾

综上，，从 的阶易知

1. ，则对于 ，存在且仅存在一个子群，满足子群的阶为
2. 循环群的子群还是循环群

最后讨论自同构，这里上课略讲了，参见课本

注，讲了无限循环群的自同构，没讲有限的

一个特殊性质： 乘法群也可以是循环群： 是循环群的条件为 （其中 为奇素数，）

应用：离散对数问题

一个经典的应用是离散对数问题：

方案： 为公开信息， 为秘密信息

则发送 ，则接收者进行 即可得到信息，但窃听者很难知道 是什么

Topic 2 正规子群，商群与同态基本定理

这部分应该是群论这章最重要的内容

我们先讨论商群：即在商集上建立一个群运算

我们自然的定义

那么我们需要证明

对于 的条件

在证明之前，先扩展一下一些 notation，如

下面开始分析

首先

故我们需要

最后推到

注意到起初我们对 是没有限制的！故取 发现推得需要

因此得到

，若 ，则称 是 的正规子群

此时

构成商群

正规子群的充要条件为 ，且阿贝尔群的所有子群都是正规子群

同态基本定理

考虑满同态 ，则

于是有商群

下面证明

是一个同构（其中 ）

首先证明是同态

证得

接下来证明单射：

右式就是陪集相等的定义了，故

然后证明满射，从 是满同态容易找到一个 的原像 ，则得到

综上证毕。

这就是 同态基本定理

一些例子在此省略