Lecture 2

这讲首先讨论一些群的基本性质

首先，对于一个群 ， 即元素的个数，记为群的阶，由此分出有限群与无限群

Topic 1 次方与元素的阶

引进关于次方的记号

次方的基本计算容易验证与普通的次方运算一致，即

元素的阶

对于 , 若存在 ，定义满足这一性质最小的 为元素 的阶，若不存在这样的数，则 的 order 为无穷

Remark：特别的，后面会证明

Topic 2 子群及其性质

定义：对 ，若 也是群，则 是 的子群，称为

Remark: H 的幺元一定是 G 的幺元

陪集与 Lagrange 定理

考察 与 ，考虑 ，称 ，若

Lemma: 是等价关系：对称性是根据 ，另两个比较简单

我们知道，等价关系的重要意义在于能够把元素分为等价类，基于上面的等价关系，所有与 等价的元素集合为

这称为左陪集，同理定义右陪集

Remark: 类似的，

Lemma:

不难证，因为两侧都与 等价，所以互相包含

从陪集定义陪集分解： 可以划分为若干等价类的并，从而就变成

这里的 被称为完全代表元系

群里面一个重要的原理是消去律：

于是可以得到 ，即推得

(Lagrange 定理) 对有限群 ，

即前面 的大小

Lemma: 子群的大小一定是大群大小的因子，故阶为素数的群只有平凡子群

Remark：说一些陪集的基本性质

1. 陪集相同当仅当等价

接下来我们 echo 前面的元素阶数问题。从鸽巢定理可知有限群中任意元素的阶数是有限的，不妨设为 。

于是考虑 生成的群

它确实是一个群，不难验证

于是

Remark： 一个例子是

这就是欧拉定理

Topic 3 同态

考虑两个群 ，我们用同态分析他们的“相似”关系。

定义：称 为群的同态，如果

同态是一个映射，故容易理解单同态，满同态与一一同态，特别的，一一同态下称 与 同构，记为

Remark 1.

这个论断蕴含了 为群，挺好证的

从同态（作为一个映射）可以发展出以下两个概念

同态的核：

同态的像

对于核，想看看它是不是 的子群，首先引进一个比较简单的判断方法

那么用上面的 lemma 就比较好判断了

Lemma： 是单同态 ，这是一个证单射的手段

一个例子是对各个循环群的分析，即 ， 与单位根群

他们都是互相同构的

就是 ，其中阶数有限，关于循环群的更多内容在下节课

自同构

自同构是一个有趣的内容

如果在上面定义运算

则可以证明 为一个群