PS 9

Problem 1

化归课上的过程，考虑 下的指标向量 构成的 ，题目等价于证明 矩阵

满秩

设 ，有

而这些式之和得到 ，与各式作差知 可逆

故

Problem 2

注意到

所以给定固定的 ，则考虑集合 ，注意 为 中维度为 的线性空间

的子空间，又

这表明

Problem 3

只需证明：任意大于等于 3 个点的点集，与他们的距离分别相等且这个距离也相等的点集大小至多为 2。这只需证明 3 个点的点集满足这点

Case 1：3 点共线（且不相同）： 考虑三个点所在直线的方向向量为 ，，n_i 互不相同，则一点 与两个点 距离相同的条件为

而 的 P 互相平行且两两不相同，故不存在与 3 个点距离相等的点

Case 2：3 点不共线

则 3 点确定一个平面 P，则平面上有且仅有一个点 k（三点的外接圆圆心）满足这点与 3 点距离相同， 内也只有过 k 与 P 垂直的直线 l 上关于 P 对称的两点对满足二者与 3 点的距离相等 & 这个距离也相等，这表明这种情况下满足条件的点集大小至多为 2