Problem 1
如若没有长度为 的 constant subsequence，那么必然有不少于 个不同的值，我们取一个由 个不同值构成的子序列，这化归为了 Erdos - Szekeres Theorem 的 case，得证
Problem 2
考虑强化，证明
的染色相同，其中
考虑 ，则对 N 的任一种染色方式，考虑对 的 染为 中 的颜色（）
此时 的每个三角形都唯一的与一个满足上述性质的 相对应，存在同色三角形证明了题所求。
Problem 3
对 c 用归纳法， 的时候显然
如若 时， 存在，下证： 存在且
对一个长度为 的 c-coloring 序列，由 Van Der Vaerden 定理知，存在一个同色的等差数列
这表明从 开始，公差为 ，长度为 l 的等差数列均同色，下面考察
Case 1：他们之中有至少一个值 的染色与前述等差数列相同，这表明
是一个符合题意的集合
Case 2：他们的染色均不为前述等差数列的颜色，那么考虑将其颜色映射到新集合
上，映射方式即 id 的染色变为 i 的染色，且这种染色色数至多为 ，那么由归纳假设，新集合有一个同色的集合
这表明原来的
是一个满足题意的集合
综上证毕。
Problem 4
的任一 proper coloring 将 G 划分为 个颜色不同的独立集，我们证明任给两个这样的独立集 ，都 。如果不然，即 仍为一个独立集，则我们可以对他们进行同一种染色，这与 的最小性不符
Problem 5
Task 1
出
Task 2
其中
带入即得证