Problem 1
由 konig 定理，只需证最小点覆盖大小不小于 ，这由每个顶点至多连接 条边显然可得
Problem 2
考察 表示 周中这个学生完成的题数，满足
另一方面，考虑 ，则又有
注意到这里存在 40个介于 1 - 39 的整数，故必然有两个数相同，而 内部都是 distinct 的，这表明必然
证毕
Problem 3
对于 的任意一个顶点所连的 16 条边，由鸽巢原理可能至少有一种颜色占据了大于等于六条，不妨设为黄色。那么这六条边对应的六个顶点组成一个 ，倘若其中存在一条黄边，那么出现了一个同色三角，如若不然，由 的结论出其中至少存在一个红色的三角或一个蓝色的三角
Problem 4
(由题意知 与 可相同)
考虑取的 个数中最大的为 z，则考虑
共 个笼子，且由 的最大性可得剩下的所有 个选出来的数都在这些笼子的恰好一个中
- 如果 ，此时共有 个笼子，但其中的笼子 只需要有一个元素即可满足题设，故由
可由鸽巢原理出至少有一个普通的笼子有大于 1 个数，或者中间的笼子存在一个数，这必然导出存在两个数（若在中间笼子则重复作为 和 ）满足其和为
2. 若 ，这样至少有一个笼子存在两个数，亦可得到结果
对第二小问，考虑取
即可