Problem 1
Task 1
如若不然：设存在边 ，满足 是唯一包含 的超边，那么将 染成红色，将 剩下的点染成蓝色，再将 f 之外的所有点染成红色，即可满足 f 自己不同色，其他边（必然与 有且仅有一个非 的交点，其为蓝色，而剩下的点（由边大小大于等于 3 知存在）为红色）亦不完全同色，故 可二染色，矛盾！
Task 2
显然 ，不可能有多于一条超边同时包含这个点对，故只需证不可能存在这样的点对，使得没有一条超边同时包含他们
如若不然：设存在这样的 ，取定
由假设
考虑这样的构造： 染为红色， 染成蓝色， 染成红色。则 不同色，任何 之外的超边 必然存在红点（由于 与 的交点个数至多为 2，而 包含的点数不小于三个）。而其与 的交点不可能分别为 和 ，否则与假设矛盾，故这两个交点（可能重合，则此时为蓝点，由于 ）至少有一个为蓝点，故 也不同色，即我们构造了一个 2-染色，矛盾！证毕
Problem 2
这题一开始思路错了，“至少有一个”常是最直接的期望线性性..
对每个点进行从颜色 至 的随机染色，对任给 ，
满足
故总异色边数 满足
故至少有一种染色方式，使得存在一个大于等于 的异色子图，即证
Problem 3
我们设对 A 的 n 个列向量进行随机排列后，不存在 t 长度单调子序列的事件为 ，第 i 行存在这样的单调子序列的事件为 ，则有
下证
对于任意的子序列
T 满足排列后单调的概率为
故
只需证
不大于 1（放缩略，可以用数值看出来），故必然存在无这样单调子序列的情况
最后一个不等号基于
Problem 4
注意到
而
这表明
所以至少有一种
亦即
其不可改进性来自如若 为 的一组正交单位基，