Problem 1
根据定义，由于任何 interpretation 要么满足 formula ，要么满足他的否定，所以
而由题意
即得到
亦即
Problem 2
- 考虑 ① ③ 满足，而 ② 不满足的一种 interpretation：
- 考虑 ② ③ 满足，而 ① 不满足的一种 interpretation :
显然满足对称性，而对于传递性， 表明 均同号且不为零，故 是成立的，但 不满足自反性，当 时即不成立
- 考虑 ① ② 满足，而 ③ 不满足的一种 interpretation：
三个性质都比较显然
Problem 3
我们构造一个 interpretation，满足其 universe ，而所有 满足 ， 满足 ，所有变量与常数赋为 ，这保证了封闭性
在这种条件下，首先：所有 term 均为 ，因为变量，常数和 生成的结果均为 。
因此， 成立， 也成立，故所有 atomic 公式都成立
接下来，假设对于 positive formula 和 ，均有 ，则显然
而 即相当于 时 成立，由于 中变量的赋值必为 ，故这两个公式都是成立的。因此从原子公式开始可以归纳得到这些类型的公式都是成立的。
而 不存在，故不用考虑，综上知这个 interpretation 对任意形式的 positive formula 都保证了成立，即其为可满足的
Problem 4
若存在一个满足 的 interpretation ，我们可以直接构造一个 的 interpretation ，其 universe 与 相同，且所有 中的符号和变量的表示相同，则根据 coincidence lemma，
另一方面，若存在 ，其所有 中的符号和变量的表示构成的表示 亦由 coincidence lemma 可知满足
Problem 5
自反性：考虑恒等映射 ，显然构造了一个 到他自身的同构
交换性：假设映射 为对应的同构，则由于 为双射，可以构造
为 到 的一个同构
传递性，假设映射 ， 构造了 到 ， 到 的同构，则
满足
与
故构造了从 到 的同构
综上证毕