Logic Homework 4

Problem 1

由

则存在

使得

由于 是无量词的，故

首先， 的所有 term 的值取决于 ，常量和变量的取值，而这些在赋值后的 中是完全一致的，故

然后，由上可知项的取值一致且属于 ，故对这些项，有

与

即其中的所有原子公式相同

进一步的，由于公式中的逻辑符号仅有 ，故由他们在 中对原子公式合成之后的结果也是一样的。

综上可以得到

亦即

Problem 2

a) 根据替换的定义，

b) 由于 u 和 v 都是自由变量，直接替换即得

c) 与 a) 类似，但 在自由变量的替换变量中出现，故用 表示替换后的 ，即

d)

其中，第一项中 在自由变量 的替换变量 中出现，故需要改为

Problem 3

题给条件即 这些项中不存在任何的 变量

如果存在 ，满足

对 赋值之结果

考虑特定的

由于 中不含 ，故由 coincidence lemma

故上述赋值保证了

因此根据假设，此时有

而substitution lemma 指出

故

即